【MATLAB】史上最全的9种频谱分析算法全家桶
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1 【MATLAB】傅里叶变换FFT算法
傅里叶变换是一种数学方法，用于将一个信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，从而更好地理解和处理信号。傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用，包括音频处理、图像处理等。 具体来说，傅里叶变换的步骤如下：
给定一个连续时间域函数f(t)，其中t为时间。
对f(t)进行傅里叶变换，得到它的频率域表示F(ω)，其中ω为角频率。
F(ω)表示了f(t)中所有频率分量的幅度和相位信息。
将F(ω)分解成一系列正弦和余弦函数的和，即： F(ω) = ∑[a(k)cos(kω) + b(k)sin(kω)] 其中，k为频率分量的序号，a(k)和b(k)分别为对应的正弦和余弦函数的系数。 傅里叶变换的优点是可以将时间域中的信号转换成频率域中的信号，从而更好地理解信号的频率分量和周期性特征，同时也方便进行一些信号处理任务，例如滤波、降噪等。缺点是傅里叶变换需要对整个信号进行处理，计算量较大，在实时处理等场景下可能会存在较大的延迟。
频谱分析算法示意图
2【MATLAB】希尔伯特黄变换HHT算法
希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang Transform, HHT)是一种基于经验模态分解(EMD)的信号分析方法，它将信号分解成若干个固有模态函数(IMF)和一个残差项，然后利用希尔伯特变换对每个IMF进行频率分析，得到信号在时-频域的表达。希尔伯特-黄变换可用于分析非线性和非平稳信号，如地震波、生物信号等。 希尔伯特-黄变换的步骤如下：
对原始信号进行经验模态分解，将信号分解成若干个固有模态函数(IMF)和一个残差项，满足每个IMF的振动模式不同，且具有类似的希尔伯特变换特征。
对每个IMF进行希尔伯特变换，得到其解析信号。
计算每个解析信号的瞬时频率和瞬时幅度，得到信号在时-频域的表达。
对每个IMF的时-频域表达进行求和，得到原始信号的时-频域表达。 希尔伯特-黄变换的优点是可以对非线性和非平稳信号进行分析，不需要预设模型，同时可以提取信号的时-频域特征。缺点是该方法的计算量较大，需要对每个IMF进行希尔伯特变换，计算复杂度较高，同时对于一些较短的信号可能会存在较大的误差。
频谱分析算法示意图
3【MATLAB】Burg功率谱密度估计算法
Burg功率谱密度估计是一种基于线性预测分析的频谱估计方法，它可以对时域信号进行频谱分析，得到信号在不同频率上的能量分布。Burg功率谱密度估计具有较高的精度和稳定性，广泛应用于信号处理、通信、声学等领域。 Burg功率谱密度估计的步骤如下：
给定一个长度为N的时域信号x(n)。
通过线性预测分析，得到信号的自回归模型： x(n) = ∑(ai * x(n-i)) + e(n) 其中，ai为自回归系数，e(n)为噪声项。
根据自回归模型，得到信号的功率谱密度估计值： P(ω) = σ^2/|1- ∑(ai * exp(-jωi))|^2 其中，σ^2为噪声方差，|.|表示绝对值，j为虚数单位，ω为角频率。
通过最小均方误差准则，对自回归模型进行求解，得到自回归系数和噪声方差的估计值。 Burg功率谱密度估计的优点是可以对信号进行高精度的频谱分析，具有较好的稳定性和抗干扰性，同时对于信号存在的谐波等非线性成分也有较好的估计效果。缺点是该方法计算量较大，在实时处理等场景下可能会存在较大的延迟。
频谱分析算法示意图
4【MATLAB】LSP频谱分析算法
LSP（Line Spectrum Pair）频谱分析算法是一种用于线性预测分析的频谱分析方法，它可以对数字信号进行快速且准确的频域分析，广泛应用于语音信号处理、音频编码等领域。 LSP频谱分析算法的步骤如下：
对给定的数字信号进行预处理，通常包括对信号进行预加重、分帧、加窗等操作，以减小非平稳性和较大的动态范围。
通过线性预测分析，得到信号的自回归模型： x(n) = ∑(ai * x(n-i)) + e(n) 其中，ai为自回归系数，e(n)为噪声项。
对自回归系数进行LSP变换，得到LSP系数。
根据LSP系数，计算信号的功率谱密度估计值。 LSP频谱分析算法的优点是具有较高的频谱分辨率和估计精度，对于信号中存在的谐波等非线性成分也有较好的估计效果，同时计算速度较快，适用于实时处理等场景。缺点是该方法需要进行多次迭代计算，计算复杂度较高，同时对于信号的高阶谐波等较高阶成分的估计效果可能不如其他方法。
频谱分析算法示意图
5【MATLAB】协方差功率谱密度估计算法
协方差功率谱密度估计是一种基于协方差分析的频谱估计方法，它可以对时域信号进行频谱分析，得到信号在不同频率上的能量分布。协方差功率谱密度估计具有较高的精度和稳定性，在信号处理、通信、声学等领域得到广泛应用。 协方差功率谱密度估计的步骤如下：
给定一个长度为N的时域信号x(n)。
对信号进行加窗、FFT等预处理操作，得到信号的频域表示。
根据频域表示，得到信号的协方差矩阵，即： C(ω) = E[X(ω) * X^H(ω)] 其中，X(ω)为信号在频率ω处的频域表示，X^H(ω)为X(ω)的共轭转置，E[.]表示期望。
根据协方差矩阵，计算信号的功率谱密度估计值： P(ω) = trace[C(ω)]/M 其中，trace[.]表示矩阵的迹运算，M为信号的长度。 协方差功率谱密度估计的优点是可以对信号进行高精度的频谱分析，具有较好的稳定性和抗干扰性，同时对于信号存在的谐波等非线性成分也有较好的估计效果。缺点是该方法需要进行矩阵运算，计算量较大，同时对于信号的高阶谐波等较高阶成分的估计效果可能不如其他方法。
频谱分析算法示意图
6【MATLAB】修正协方差功率谱密度估计算法
修正协方差功率谱密度估计（Modified Covariance Method，MCM）是一种基于协方差分析的频谱估计方法，它可以对时域信号进行频谱分析，得到信号在不同频率上的能量分布。修正协方差功率谱密度估计在信号处理、通信、声学等领域得到广泛应用，相比于传统的协方差功率谱密度估计，具有更好的频率分辨率和估计精度。 修正协方差功率谱密度估计的步骤如下：
给定一个长度为N的时域信号x(n)。
对信号进行加窗、FFT等预处理操作，得到信号的频域表示。
根据频域表示，得到信号的协方差矩阵，即： C(ω) = E[X(ω) * X^H(ω)] 其中，X(ω)为信号在频率ω处的频域表示，X^H(ω)为X(ω)的共轭转置，E[.]表示期望。
对协方差矩阵进行修正，得到修正协方差矩阵： Cm(ω) = C(ω) - δI 其中，δ为修正因子，I为单位矩阵。
根据修正协方差矩阵，计算信号的功率谱密度估计值： P(ω) = trace[Cm(ω)]/M 其中，trace[.]表示矩阵的迹运算，M为信号的长度。 修正协方差功率谱密度估计的优点是可以对信号进行高精度的频谱分析，具有更好的频率分辨率和估计精度，同时对于信号存在的谐波等非线性成分也有较好的估计效果。缺点是该方法需要进行矩阵运算，计算量较大，同时对于信号的高阶谐波等较高阶成分的估计效果可能不如其他方法。
频谱分析算法示意图
7【MATLAB】Yule-Walker功率谱密度估计算法
Yule-Walker功率谱密度估计是一种基于自回归模型的频谱估计方法，它可以对时域信号进行频谱分析，得到信号在不同频率上的能量分布。Yule-Walker功率谱密度估计在信号处理、通信、声学等领域得到广泛应用，相比于传统的基于协方差的频谱估计方法，它具有更好的计算效率和估计精度。 Yule-Walker功率谱密度估计的步骤如下：
给定一个长度为N的时域信号x(n)。
对信号进行加窗、FFT等预处理操作，得到信号的频域表示。
根据信号的自回归模型，建立Yule-Walker方程组： R(0) + a(1)R(1) + ... + a(p)R(p) = 0 其中，R(0)为信号的自相关函数，R(i)为信号的自相关函数的第i个系数，a(i)为自回归系数，p为自回归模型的阶数。
解Yule-Walker方程组，得到自回归系数。
根据自回归系数，计算信号的功率谱密度估计值： P(ω) = σ^2/|A(ω)|^2 其中，σ^2为信号的方差，|A(ω)|为自回归系数的频率响应。 Yule-Walker功率谱密度估计的优点是具有较好的计算效率和估计精度，对于信号存在的谐波等非线性成分也有较好的估计效果。缺点是该方法需要利用自回归模型，因此对于信号的高阶谐波等较高阶成分的估计效果可能不如其他方法。
频谱分析算法示意图
8【MATLAB】Welch功率谱密度估计算法
Welch功率谱密度估计是一种基于信号分段平均的频谱估计方法，它可以对时域信号进行频谱分析，得到信号在不同频率上的能量分布。Welch功率谱密度估计在信号处理、通信、声学等领域得到广泛应用，相比于传统的频谱估计方法，它具有更好的计算效率和估计精度。 Welch功率谱密度估计的步骤如下：
给定一个长度为N的时域信号x(n)。
将信号分成L个段，每段长度为M，相邻两段有M/2个样本重叠。
对每个段进行加窗、FFT等预处理操作，得到每个段的频域表示。
对每个段的频域表示进行幅度平方运算，得到每个段的功率谱密度估计值。
对所有段的功率谱密度估计值进行平均操作，得到信号的平均功率谱密度估计值。 Welch功率谱密度估计的优点是具有较好的计算效率和估计精度，对于信号存在的谐波等非线性成分也有较好的估计效果，同时对于信号的高阶谐波等较高阶成分的估计效果也较好。缺点是该方法需要对信号进行分段处理，因此对于信号变化较快的情况下可能会引入估计误差。
频谱分析算法示意图
9【MATLAB】periodogram功率谱密度估计
Periodogram功率谱密度估计是一种基于傅里叶变换的频谱估计方法，它可以对时域信号进行频谱分析，得到信号在不同频率上的能量分布。Periodogram功率谱密度估计在信号处理、通信、声学等领域得到广泛应用，相比于传统的频谱估计方法，它具有更好的计算效率和估计精度。 Periodogram功率谱密度估计的步骤如下：
给定一个长度为N的时域信号x(n)。
对信号进行加窗、FFT等预处理操作，得到信号的频域表示。
对频域表示进行幅度平方运算，得到信号的功率谱密度估计值。
对功率谱密度估计值进行归一化，得到归一化的功率谱密度估计值。 Periodogram功率谱密度估计的优点是计算简单，易于实现，对于信号存在的谐波等非线性成分也有较好的估计效果。缺点是当信号长度N较大时，估计结果可能会存在较大的方差，且对于信号的高阶谐波等较高阶成分的估计效果可能不如其他方法。
频谱分析算法示意图
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